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CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

PROBLEMAS RESUELTOS

Salvador Vera Ballesteros

www.satd.uma.es/matap/svera

Tema 3 Derivación de funciones de varias variables

3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables

3.2 Plano tangente y recta normal a una superficie
3.3 Extremo de una función de dos variables

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3. Derivadas parciales y diferenciales de órdenes superiores. Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la función z = f(x,y) a las derivadas parciales de las derivadas parciales de primer orden.

Se usan las siguientes notaciones:

;

;

(se empieza derivando por la variable que está más cerca de la función)

Si las derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas cruzadas son iguales.

Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de órdenes superiores.

Si las derivadas parciales son continuas entonces no dependen del orden en que se realicen, sino del número de veces que se derive respecto de cada una de las variables (aunque el resultado final sea igual, el cálculo puede resultar más complicado en un orden que en otro).

Se llama diferencial de segundo orden de una función a la diferencial de su diferencial total:

Análogamente se define la diferencial de tercer orden.

Se siguen unas reglas parecidas a las potencias:

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13. Calcula las derivadas parciales segunda de la función:


Solución:

Hallamos las derivadas parciales:

;

Derivando repetidamente obtenemos:

;

;

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14. Halla las derivadas parciales de tercer orden de la función:


Solución:

Hallamos las derivadas parciales de primer orden:

;

Hallamos las derivadas parciales de segundo orden:

;;

Hallamos las derivadas parciales de tercer orden:

;;;

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15. Halla de la función .


Solución:

Hallamos las derivadas parciales de primer orden:

;

Hallamos las derivadas parciales de segundo orden:

;;

Con lo cual:


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Cálculo para la Ingeniería (2000-01): http://www.satd.uma.es/matap/svera - © 2000 Salvador Vera
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