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CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

PROBLEMAS RESUELTOS

Salvador Vera Ballesteros

www.satd.uma.es/matap/svera

Tema 3. Derivación de funciones de varias variables

3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables

3.2 Plano tangente y recta normal a una superficie
3.3 Extremo de una función de dos variables



3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables

3.1.1. Derivadas parciales de primer orden. Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independienteal siguiente límite, si existe y es finito:

calculado suponiendoconstante.

Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independiente al siguiente límite, si existe y es finito:

calculado suponiendoconstante.

Para calcular las derivadas parciales son válidas las reglas y fórmulas de derivación ordinarias. Basta considerar que todas las variables son constantes (son números), salvo aquella respecto de la que estamos derivando.

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1.
Halla, aplicando la definición, las derivadas parciales de la función

Solución:
Considerando como una constante, tenemos:

Considerando como una constante, tenemos:

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2. Dada la funcióndefinida por Halla y .

Solución:
Considerando como una constante, tenemos:

Considerando como una constante, tenemos:.

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3. Dada la función definida por Halla y .


Solución:


 

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4. Dada la función f definida por . Halla sus derivadas parciales en el punto P(1,1,1).


Solución:

Podemos elegir entre aplicar la definición de derivada en el punto P(1, 1, 1). o lo que es más fácil, calculamos las derivadas parciales y en ellas sustituimos.

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5. Calcula las derivadas, en el punto P(0, 0), de la función f definida por:


Solución:

En este caso es más conveniente aplicar la definición de derivada en el punto P(0, 0). ya que si calculamos las derivadas parciales y en ellas sustituimos, nos encontramos con una indeterminación.

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6. Prueba que la función f definida por satisface la ecuación:


Solución:

Hallamos las derivadas parciales.

;

Sustituimos las expresiones halladas en el primer miembro de la ecuación y operamos:

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Cálculo para la Ingeniería (2000-01): http://www.satd.uma.es/matap/svera - © 2000 Salvador Vera
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