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Fundamentos de Cálculo
Ingeniería técnica de Telecomunicación
Salvador Vera Ballesteros

Curso académico 2007/08

Programa de la asignatura   Cabecera de la página

Prerequisitos Básicos de la asignatura.
- Operaciones con números reales.
- Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.
- Polinomios y fracciones algebraicas. Descomposición.
- Números complejos: definiciones y operaciones elementales.
- Geometría: La recta, las cónicas y el plano.
- Exponenciales y logaritmos. Propiedades.
- Trigonometría: Razones trigonométricas y resolución de triángulos.
- Funciones reales. Funciones elementales (polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas) y sus propiedades.

Unidad 1: Derivación de funciones reales.

            Los contenidos de esta unidad hacen referencia al cálculo de límites y al estudio de la continuidad y derivabilidad de funciones reales y campos escalares. Se incide especialmente en el cálculo de límites y derivadas así como en algunas de sus aplicaciones más importantes en aproximación y optimización. Temporalización de la unidad: 21 horas = 7 semanas.

Tema 1: Funciones de varias variables: Límites y continuidad PDF(251Kb)
1.0.- Prerequisitos: Concepto y cálculo de límites de funciones reales. Continuidad y teoremas de funciones continuas.
1.1.- El espacio métrico Rn. Breves nociones de la topología Rn .
1.2.- Campos escalares: Definición, Dominio, Operaciones y Representación gráfica.
1.3.- Límite: Definición, Cálculo de límites, Límites iterados y direccionales. Continuidad.
1.4.- Generalización a funciones y campos vectoriales.

Temporalización del tema: 6 horas = 2 semanas.
Tema 2: Derivación de funciones de una variable. Aplicaciones PDF(993Kb).
2.0.- Prerequisitos: Cálculo de la derivada de las funciones elementales y composiciones de las mismas. Teoremas de funciones derivables. Representación gráfica de funciones explícitas.
2.1.- Definición. Derivación y continuidad. Recta tangente y normal. Aproximación lineal y diferencial.
2.2.- Función derivada. Derivada de las funciones elementales. Funciones trigonométricas hiperbólicas. Derivadas sucesivas.
2.3.- Regla de la cadena. Derivada de la función inversa. Derivación implícita y logarítmica.
2.4.- Máximos y mínimos de una función. Problemas de aplicación.
2.5.- Estudio local de una función. Polinomio y teorema de Taylor.
2.6.- Formas indeterminadas. Infinitésimos. Regla de L’Hopital.
Temporalización del tema: 6 horas = 2 semanas.
Tema 3: Derivación de funciones de varias variables. Aplicaciones (PDF).
3.0.- Prerequisitos: Conocimiento de los temas anteriores.
3.1.- Derivadas parciales. Interpretación geométrica. Derivadas parciales de orden superior.
3.2.- Derivadas direccionales. Relación con las derivadas parciales.
3.3.- Diferencial y gradiente de un campo escalar. Relación con las derivadas parciales y direccionales.
3.4.- Aproximación lineal. Plano tangente. Problemas de aplicación.
3.5.- Generalización a campos vectoriales. Regla de la cadena. Derivación de funciones implícitas.
3.6.- Teorema de Taylor. Extremos relativos, absolutos y condicionados.
 Temporalización del tema: 9 horas = 3 semanas.


Unidad 2: Integración de funciones reales.

        Los contenidos de esta unidad giran entorno al concepto de integral de funciones escalares. Se incide especialmente en algunos métodos de cálculo de primitivas y especialmente en las aplicaciones del cálculo integral. También se sugiere la integración numérica iniciando al alumno en el cálculo numérico. Temporalización de la unidad: 9 horas = 3 semanas.

Tema 4: Integral definida y Cálculo de Primitivas (PDF 292K)  (DVI 322K)
4.0.- Prerequisitos: Definición de integral y cálculo elemental de primitivas.
4.1.- La integral de Riemann. La integral definida: Definición y Propiedades.
4.2.- El teorema fundamental del Cálculo y la Regla de Barrow.
4.3.- La integral indefinida. Integrales inmediatas.
4.4.- Método de sustitución y Método de integración por partes.
4.5.- Integración de funciones racionales, irracionales y trigonométricas.

Temporalización del tema: 6 horas = 2 semanas.
Tema 5: Aplicaciones de la Integral. (PDF 864K-PDFzip197K)(PS 406K-PSzip133K)
5.0.- Prerequisitos: Cálculo elemental de áreas.
5.1.- Áreas planas y Volúmenes.
5.2.- Longitudes de curvas y Áreas de superficies de revolución.
5.3.- Integrales impropias.
5.4.- Integración numérica y Cálculo de límites.
5.5.- Aplicaciones físicas, Centroides y Teorema de Pappus.
Temporalización del tema: 3 horas = 1 semanas.


Unidad 3: Series numéricas y funcionales.

            Los contenidos de esta unidad hacen referencia a un concepto generalmente desconocido para el alumno por no existir referencias del mismo en los contenidos matemáticos de las enseñanzas medias. Por tanto, se incide especialmente en los conceptos de serie numérica y funcional, así como en su convergencia. También se estudian las series de potencias y las series de Fourier por sus importantes aplicaciones. Temporalización de la unidad: 12 horas = 4 semanas.

Tema 6: Series numéricas (PDF).
6.0.- Prerequisitos: Sucesiones y cálculo de límites.
6.1.- Sucesiones y series: Definición, Convergencia y Operaciones.
6.2.- Criterios de convergencia para series de términos positivos.
6.3.- Criterios de convergencia para series alternadas.
6.3.- Series de términos cualesquiera. Convergencia absoluta.
6.4.- Suma de series

Temporalización del tema: 5 horas = 1’7 semanas.

Tema7: Series funcionales (PDF).
7.0.- Prerequisitos: Conocimiento de los temas anteriores.
7.1.- Sucesiones y series de funciones: Definición, Convergencia puntual y Uniforme, Propiedades.
7.1.- Series de potencias: Definición, Radio y Campo de convergencia, Propiedades y Series de Taylor.
7.3.- Series de Fourier: Definición y cálculo de coeficientes para funciones periódicas. Convergencia, Funciones no periódicas y Simplificaciones.
Temporalización del tema: 7 horas = 2’3 semanas
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Bibliografía   Cabecera de la página
 

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Relación de Actividades Curso 02/03   Cabecera de la página

Prácticas de Matemáticas con Derive.
     La utilización de los ordenadores se presenta como instrumento didáctico en la enseñanza de las Matemáticas. Pero además, se pretende proporcionar al alumno una herramienta que pueda resultarle útil en su futura vida profesional.
     Las prácticas son de carácter voluntario, se realizan en el aula de ordenadores del Departamento (2.1.5.),  haciendo uso del programa DERIVE y distribuidas para cada alumno en dos sesiones, de acuerdo a unas listas en las que tendrán que apuntarse y que estarán a disposición de los alumnos en el despacho 2.2.A.21.
     La primera sesión de prácticas se realiza durante las tres primeras semanas de clase en horario previamente anunciado, distribuyendo a los alumnos de cada clase en turnos. La sesión tiene una duración aproximada de tres horas y se familiariza al alumno con el programa y sus principales comandos, con los que se resuelven ejemplos sencillos de cálculo, entre ellos, los propuestos en la relación de preliminares. En cualquier caso, se le facilita al alumno un cuaderno a modo de manual del programa Derive, cuyo precio es de 400 ptas.

Matemáticas con Derive. Iniciación al programa
S. Sánchez, P. Rodríguez, Y. Padilla y J.F. Morones.
Editorial Ágora, Málaga, 1999.

     La segunda sesión se realiza durante las últimas semanas de clase en horario previamente anunciado y distribuyendo a los alumnos en turnos de acuerdo a unas listas en las que tendrán que apuntarse, pudiendo elegir el turno. La sesión tiene una duración aproximada de dos horas y se repasan los principales conceptos aprendidos durante el curso (límites, continuidad, derivabilidad, integración y series) aprovechando las posibilidades gráficas y la rapidez con la que el ordenador nos proporciona soluciones. La práctica estará guiada por el profesor que facilita al alumno una relación de actividades que propone distintos problemas para experimentar con los conceptos aprendidos y sus aplicaciones.
     Durante el curso el alumno dispone de un horario de laboratorio para realizar prácticas a nivel personal con el programa DERIVE, de acuerdo a las sugerencias planteadas por el profesor en clase.
     Al final del curso se elaborará una lista con aquellos alumnos cuya nota final (examen de la convocatoria ordinaria de febrero + examen de preliminares) necesiten 0,5 puntos para obtener una calificación superior. Estos alumnos, realizarán voluntariamente un examen de prácticas que consistirá en la resolución de una serie de problemas del estilo de los que aparecen en la relación de actividades facilitada en la segunda sesión de prácticas.

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Problemas Resueltos   Cabecera de la página

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Relaciones de problemas   Cabecera de la página

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Exámenes   Cabecera de la página

            En esta sección se incluyen los exámenes resueltos realizados en convocatoria de cursos anteriores: