Convergencia puntual y uniforme

Como ya hemos visto, el límite puntual de una sucesión de funciones no tiene porque existir. En el caso de que si exista ¿ qué quiere decir que $f_n$ converge puntualmente a $f$? Para analizar esto consideremos un punto $x_1\in D$, $f_n\colon D\to \mathbb{R}$, y la sucesión $f_n(x_1)$. Debe ser $f(x_1)=\lim f_n(x_1)$, es decir que

\begin{displaymath}\forall \epsilon >0\quad \exists N_1 / \mid f_n(x_1)-f(x_1) \mid <\epsilon \mbox{ si } n\geq N_1\end{displaymath}

Si ahora considero otro punto $x_2\in D$, $f_n\colon D\to \mathbb{R}$, y la sucesión $f_n(x_2)$. Debe ser $f(x_2)=\lim f_n(x_2)$, es decir que

\begin{displaymath}\forall \epsilon >0\quad \exists N_2 / \mid f_n(x_2)-f(x_2) \mid <\epsilon \mbox{ si } n\geq N_2\end{displaymath}

En general dado $x\in D$, debe ser $f(x)=\lim f_n(x)$, es decir que

\begin{displaymath}\forall \epsilon >0\quad \exists N_x / \mid f_n(x)-f(x) \mid <\epsilon \mbox{ si } n\geq N_x .\end{displaymath}

En general el lugar $N$ a partir del cual se cumple que $ \mid f_n(x)-f(x) \mid <\epsilon$ depende de $x$ ya que para cada $x$, $f_n(x)$ es una sucesión distinta.

Pues bien cuando sea posible elegir un $N$ que sirva para todos los $x$ diremos que la convergencia es uniforme y que $f$ es el límite uniforme de $f_n$.




Antonio Garvín 05/06