Criterios de convergencia para integrales impropias de funciones positivas

$1)$Comparación por ACOTACIÓN

Si $0\leq f(x)\leq g(x)$ $\forall$ $x\in I$, $I$ intervalo, entonces:

\begin{displaymath}\int_I f\leq \int_I g\end{displaymath}

es decir,

$\bullet$ Si $\int_I g$ converge $\Rightarrow$ $\int_I f$ converge

$\bullet$ Si $\int_I f$ diverge $\Rightarrow$ $\int_I g$ diverge

$2)$ Comparación por PASO AL LÍMITE

Tomo límites donde la integral impropia presenta un problema. Si por ejemplo $I=[a,b )$, el punto conflictivo es $b$, tomaría límite en $b$. Si $I=[a,\infty )$, el "punto confictivo es $\infty$", tomaría límite en $\infty$. Enunciamos el resultado para el caso no acotado.

Sean $f$ y $g$ funciones positivas, si existe ${\displaystyle l=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)} }$, $l\in \mathbb{R}$, $l\neq 0$, entonces ${\displaystyle \int_a^{\infty}f(x) dx }$ y ${\displaystyle \int_a^{\infty}g(x) dx }$ presentan el mismo caracter(esto es, o bién ambas convergen o bién ambas divergen).

Además si $l=0$ esto nos indica que a partir de un cierto lugar $f(x)\leq g(x)$ y aplicando acotación se tiene que, por ejemplo, la convergencia de ${\displaystyle \int_a^{\infty}g(x) dx }$ implica la convergencia de ${\displaystyle \int_a^{\infty}f(x) dx }$

Nota:

El mismo resultado es válido para los otros tipos de integrales impropias tomando límite en el punto problemático.


Antonio Garvín 05/06