Interpretación geométrica

Geometricamente, ¿qué es la derivada de $f$ en un punto $a$?

La diferencia $f(x)-f(a)$ mide el incremento de la función $f$ entre $a$ y $x$, mientras que $x-a$ mide el incremento de la variable. El cociente entre ambos incrementos ${\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a} }$ es precisamente la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función, entre los puntos $(a,f(a))$ y $(x,f(x))$. En la siguiente gráfica podemos observar que ocurre cuando tomamos valores de la variable cada vez más proximos al punto $a$


\begin{picture}(300,200)
\par
\put(40,50){\line(1,0){110}}
\put(50,40){\line(0,...
...(x_1)$}
\multiput(50,115)(3,0){20}{$\cdot$}
\put(130,130){$r_1$}
\end{picture}

\begin{picture}(200,100)
\par
\put(40,50){\line(1,0){110}}
\put(50,40){\line(0,...
...115)(3,0){20}{$\cdot$}
\put(130,130){$r_1$}
\put(128,103){$r_2$}
\end{picture}

El límite de las secantes conforme $x$ tiende a $a$ es la recta tangente a la gráfica en el punto $(a,f(a))$. Así pues el límite de las pendientes de las secantes es la pendiente de la tangente, y por tanto podemos interpretar $f'(a)$ como la pendiente de la recta tangente en el punto $(a,f(a))$.



Antonio Garvín 05/06