Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

Si tenemos una base en $V$, $\{v_1,\cdots ,v_n\}$ podemos pasar a partir de ella a una base que es ortonormal $\{u_1^0,\cdots ,u_n^0\}$

El proceso que se sigue es el siguiente: Comenzamos con un vector de la base $u_1=v_1$, dividimos por su norma y ya lo tenemos de norma $1$.

\begin{displaymath}u_1^0=\frac{u_1}{ \mid \mid u_1 \mid \mid }\end{displaymath}

Consideramos ahora otro vector de la base, $v_2$, y tomamos uno ortogonal a $u_1^0$. Por definición $p_{u_1^0}(v_2)$ es tal que $v_2-p_{u_1^0}(v_2)\in \langle u_1^0\rangle ^{\bot}$. Así que podemos tomar como nuevo vector $u_2=v_2-p_{u_1^0}(v_2)$ y resulta ser ortogonal a $u_1^0$.

\begin{displaymath}u_2=v_2-p_{u_1^0}(v_2)=
v_2-\frac{\langle v_2,u_1^0\rangle}
...
...mid u_1^0 \mid \mid }u_1^0=
v_2-\langle v_2,u_1^0\rangle u_1^0\end{displaymath}

Lo normalizamos y ya tiene norma uno

\begin{displaymath}u_2^0=\frac{u_2}{ \mid \mid u_2 \mid \mid }\end{displaymath}

A continuación tomamos

\begin{displaymath}u_3=v_3-
\langle v_3,u_1^0\rangle u_1^0-
\langle v_3,u_2^0\...
...quad \mbox{y}\quad
u_3^0=\frac{u_3}{ \mid \mid u_3 \mid \mid }\end{displaymath}

Continuamos este proceso hasta

\begin{displaymath}u_n=v_n-
\langle v_n,u_1^0\rangle u_1^0-
\langle v_n,u_2^0\...
...quad \mbox{y}\quad
u_n^0=\frac{u_n}{ \mid \mid u_n \mid \mid }\end{displaymath}



Antonio Garvín 05/06