Proyección ortogonal

Si $U\subset V$ es un subespacio vectorial de un espacio euclídeo, entonces existe para cada $v\in V$ un único elemento $u\in U$ tal que $v-u\in U^{\bot}$. A este único elemento $u$, se le llama proyección ortogonal del vector $v$ sobre el subespacio $U$. Así se tiene definida una aplicación

\begin{displaymath}p\colon V\to U\qquad p(v)=u\end{displaymath}

asignando a cada $v$ su proyección ortogonal sobre $U$, $u$.


\begin{picture}(400,80)
\put(150,20){\vector(1,0){50}}
\multiput(150,70)(5,0){...
...5,55){$v-p(v)$}
\put(150,20){\vector(1,1){50}}
\put(180,60){$v$}
\end{picture}

Si $U=\langle u_1\rangle$ es de dimensión $1$, al ser $p(v)\in U$, debe ser $p(v)=\lambda u_1$. Podemos determinar $\lambda$ imponiendo la condición que se debe cumplir, esto es, $v-p(v)\in U^{\bot}$. Es decir $\langle v-\lambda u_1, u_1\rangle =0$, de donde

\begin{displaymath}\langle v,u_1\rangle -\lambda \langle u_1,u_1\rangle =0
\iff
\lambda =\frac{\langle v,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\end{displaymath}

Por tanto

\begin{displaymath}p(v)=\frac{\langle v,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1=
\frac{\langle v,u_1\rangle}{ \mid \mid u_1 \mid \mid ^2}u_1\end{displaymath}

Así pues si tomamos $u_1$ de norma $1$ (lo normalizamos)la proyección de $v$ sobre $\langle u_1\rangle$ es simplemente

\begin{displaymath}p(v)=\langle v,u_1\rangle u_1\end{displaymath}

Si $U$ tiene dimensión dos, $U=\langle u_1,u_2\rangle$, podemos obtener mediante un razonamiento análogo que

\begin{displaymath}p(v)=
\frac{\ensuremath {\left\vert \begin {array}{cc }
\la...
...2\rangle&\langle u_2,u_2\rangle
\end{array} \right\vert}}
u_2\end{displaymath}

Pero si tomamos la base de partida con $u_1$ y $u_2$ ortogonales, la expresión se simplifica considerablemente

\begin{displaymath}p(v)=
\frac{\langle v,u_1\rangle}{ \mid \mid u_1 \mid \mid ^...
...1+
\frac{\langle v,u_2\rangle}{ \mid \mid u_2 \mid \mid ^2}u_2\end{displaymath}

si además los tomamos de norma $1$, $ \mid \mid u_1 \mid \mid = \mid \mid u_2 \mid \mid =1$, entonces la expresión queda

\begin{displaymath}p(v)=
\langle v,u_1\rangle u_1+
\langle v,u_2\rangle u_2\end{displaymath}

Una base se dice que es ortogonal si todos sus vectores son ortogonales. Si además todos tienen norma $1$, diremos que la base es ortonormal.

Si tomamos en $U$ una base ortogonal, $U=\langle u_1,u_2,\cdots ,u_r\rangle$, un razonamiento análogo nos conduce a que

\begin{displaymath}p(v)=
\frac{\langle v,u_1\rangle}{ \mid \mid u_1 \mid \mid ^...
...
\frac{\langle v,u_r\rangle}{ \mid \mid u_r \mid \mid ^2}u_r
\end{displaymath}

y si la base es además ortonormal


\begin{displaymath}p(v)=
\langle v,u_1\rangle u_1+
\langle v,u_2\rangle u_2+
\cdots +
\langle v,u_r\rangle u_r
\end{displaymath}


\begin{picture}(400,120)
\put(150,60){\vector(1,0){40}}
\par
\put(180,65){$u_1$...
...40,30){\line(2,1){100}}
\put (275,35){$U=\langle u_1,u_2\rangle$}
\end{picture}


Antonio Garvín 05/06