Matriz de una aplicación lineal

Sea $f : U \rightarrow V$ una aplicación lineal de un espacio vectorial $U$ de dimensión $n$ en un espacio vectorial $V$ de dimensión $m$, definidos ambos sobre el mismo cuerpo $K$. Sean $B_{U}= \ensuremath{ \{ {u}_{1}, \ldots, {u}_{n} \}}$, $B_{V}=\ensuremath{ \{ {v}_{1}, \ldots, {v}_{m} \}}$ bases ordenadas de $U$ y $V$, respectivamente.

Consideremos un vector cualquiera $ {x} \in U$, de coordenadas $(x_{1}, \ldots ,x_{n})$ respecto de la base $B_{U}$:

\begin{displaymath}{x}=\ensuremath{x_{1}\,{u}_{1}+ \cdots+x_{n}\, {u}_{n}}\end{displaymath}

y sea la imagen de $ {x}$ por $f$, $ {y}$, de coordenadas $(y_{1}, \ldots ,y_{n})$ respecto de la base $B_{V}$:

\begin{displaymath}f( {x})= {y}=\ensuremath{y_{1}\,{v}_{1}+ \cdots+y_{m}\, {v}_{m}}\end{displaymath}

Supongamos conocidas las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base $B_{U}$ expresadas en la base $B_{V}$, es decir:

\begin{eqnarray*}
f( {u}_{1})&=&a_{11} {v}_{1}+a_{12} {v}_{2}+ \cdots+ a_{1m} {...
...n})&=&a_{n1} {v}_{1}+a_{n2} {v}_{2}+ \cdots+ a_{nm} {v}_{m} \\
\end{eqnarray*}

Entonces, como $\ {x} = \ensuremath{x_{1}\,{u}_{1}+ \cdots+x_{n}\, {u}_{n}}, \,$ y puesto que $f$ es aplicación lineal se obtiene:

$ {y}=f( {x})=f(\ensuremath{x_{1}\,{u}_{1}+ \cdots+x_{n}\, {u}_{n}})= x_{1}f( {u}_{1}) +
\cdots + x_{n}f( {u}_{n}) =x_{1}(a_{11} {v}_{1}+ $

$+\cdots+ a_{1m} {v}_{m} )+ \cdots +x_{n}(a_{n1} {v}_{1}+
\cdots+ a_{nm} {v}_{m} )= {v}_{1}(x_{1} a_{11}+ \cdots
+x_{n}a_{n1})+$

$+ \cdots + {v}_{m}(x_{1}a_{1m}+ \cdots + x_{n}a_{nm})$

Igualando la expresión anterior con:

\begin{displaymath}{y}=f( {x})=\ensuremath{y_{1}\,{v}_{1}+ \cdots+y_{m}\, {v}_{m}}\end{displaymath}

obtenemos:

\begin{eqnarray*}
y_{1}&=&x_{1}a_{11}+ \cdots+ x_{n}a_{n1} \\
\vdots & & \\
y_{m}&=&x_{1}a_{1m}+ \cdots+ x_{n}a_{nm} \\
\end{eqnarray*}

que, escrito en forma matricial nos queda:

\begin{displaymath}\ensuremath{\left( \begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ ...
...{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}
\end{array} \right)}\end{displaymath}

expresión que nos relaciona las coordenadas de un vector $ {x}$ en $B_{U}$, con las coordenadas de su imagen $f( {x})$, en $B_{V},$ mediante la matriz $(a_{ij})$. Esta matriz es única por construcción, ya que sus columnas son las coordenadas de los vectores $ {u}_{j}$ en la base $B_{V}$, y dichas coordenadas son únicas. Se puede escribir por filas en lugar de por columnas. En este caso la matriz es la que se obtiene de la anterior cambiando filas por columnas. Estas matrices se denominan Traspuestas y verifican las siguientes propiedades:

1.$(A^t)^t=A$

2. $(A+B)^t=A^t+B^t$

3. $(\lambda A)^t=\lambda A^t$

4. $(AB)^t=B^t A^t$

Si $A^t=A$ decimos que es simétrica. Si $A^t= -A$ decimos que es antisimétrica.




Antonio Garvín 05/06