Relación #0 de Problemas de Álgebra para Primer Curso de Ingeniería Técnica Industrial
Teoría de conjuntos 0.01
Demostrar por manipulación algebraica las siguientes leyes, donde + representa la unión de conjuntos, · la intersección de conjuntos y A' es el complementario de A:
(1) Leyes de absorción:
(1.i) A + (A · B) = A (1.ii) A · (A + B) = A
(2) Leyes del consenso:
(2.i) A + (A' · B) = A + B (2.ii) A · (A' + B) = A · B
(3) Leyes del consenso generalizado:
(3.i) (A · B) + (A' · C) + (B · C) = (A · B) + (A' · C) (3.ii) (A + B) · (A' + C) · (B + C) = (A + B) · (A' + C)
Teoría de conjuntos 0.02
Simplificar las siguientes expresiones, donde + representa la unión de conjuntos, · la intersección de conjuntos y X' es el complementario del conjunto X:
(a) [C · (A' + B' )] + [B · (A + C)]
(b) [B' · (A + C)] + ( A' · [(B · C) + (B' · C' )] )
(c) [(A + B + C' ) · (A + B' + C' )]'
(d) ( B' · [(C · D) + (C' · D' )] ) + ( B · [(C' · D' ) + (A · C · D)] )
(e) [D · B · (A + C' )] + ( A' · [(C' · D' ) + (B · D)] ) + (A' · B' · C' · D' )
Teoría de conjuntos 0.03
En un pueblo de 30.000 habitantes se leen tres periódicos (el Correo, la Gaceta y el Marca). Se sabe que 6.500 personas leen el Correo, 5.580 la Gaceta y 4.800 el Marca. Además, los que leen el Correo y la Gaceta, pero no el Marca, son 680; los que leen el Correo y el Marca, pero no la Gaceta, son 1200; y los que leen la Gaceta y el Marca, pero no el Correo, son 880. Si los que no leen ningún periódico son 16.720, ¿cuántos leen los tres periódicos?
Teoría de conjuntos 0.04
En una encarnizada batalla, por lo menos el 70% de los combatientes pierde un ojo; al menos un 75%, una oreja; al menos un 80%, un brazo; y al menos un 80%, una pierna. ¿Cuántos por lo menos han perdido las cuatro cosas? ¿Cuántas filas tendría el parte de guerra?
Leyes de composición 0.05
En el conjunto N se define la ley de composición interna § de la siguiente manera:
a § b = a2 + b2
Se pide justificar si es o no asociativa y si tiene o no elemento neutro.
Leyes de composición 0.06
Sea el conjunto P(E) de las partes de un conjunto E = { a, b, c }. Estudiar las propiedades de la ley de composición interna ¥ (diferencia simétrica) definida en P(E) de la siguiente manera:
A ¥ B = (A - B) + (B - A)
donde + representa la unión de conjuntos y - la diferencia de conjuntos.
Leyes de composición 0.07
Sea el conjunto A de los pares ordenados (a, b) de números racionales, siendo a distinto de 0. Se define en A la ley de composición § de la siguiente manera:
(x, y) § (x' , y' ) = (x·x' , y·x' + y' )
Justificar que es ley de composición interna y estudiar sus propiedades (conmutativa y asociativa), así como la existencia de elemento neutro, elemento absorbente y elementos idempotentes.
Leyes de composición 0.08
En el conjunto N se definen las leyes de composición interna * y § de la siguiente manera:
x * y = x + 2·y
x § y = 2·x·y
Determinar si la segunda ley (i.e., la ley §) es o no distributiva respecto a la primera (i.e., la ley *).
Leyes de composición 0.09
Sea el conjunto A = { (a, b) pertenecientes a Q x Q | a distinto de 0 } en el que se define la ley de composición interna § de la siguiente manera:
(x, y) § (x' , y' ) = (x·x' , y·x' + y' )
Se pide demostrar que S es parte estable respecto a §, siendo
S = { (1, b) | b pertenece a Q }
Leyes de composición 0.10
Sea el conjunto R con las leyes de composición interna + y ·, y el subconjunto S de R tal que
S = { a + 2½· b | a pertenece a Q , b pertenece a Q }
Demostrar que S es parte estable respecto a ambas leyes de composición internas.
Leyes de composición 0.11
Sea A = {1, 3, 5, 7, 9}. En A se define la operación
a # b = cifra_unidades (a · b)
es decir, el resultado de operar a con b es la cifra de las unidades del producto habitual de a por b en N:
(i) Construir la tabla de la operación # y determinar si es una ley de composición interna
(ii) Estudiar las propiedades de la operación # y si tiene elementos absorbentes o regulares
(iii) Estudiar si (A, #) tiene elemento neutro y todo elemento tiene simétrico.
Ayuda: cifra_unidades ( cifra_unidades(27) · 7 ) = cifra_unidades ( 27 · 7 )